a) Biến đổi vế phải ta có:

\(\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)

\(=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)-3ab\left(a+b\right)=a^3+b^3=VT\)

Vậy đẳng thức trên đc chứng minh

b) Sai đề sửa lại

\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

Biến đổi vế trái ta có:

\(a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(=\left(a^3+b^3\right)+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)-3abc+c^3\)

\(=\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=VP\)

Vậy đẳng thức trên đc chứng minh

a) Biến đổi vế phải ta được :

(a + b)³ - 3ab(a + b)

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ - 3ab(a + b)

= a³ + b³ + ( 3a²b + 3ab² ) - 3ab( a + b)

= a³ + b³ + 3ab( a+ b) - 3ab( a + b)

= a³+ b³ = VT

=> a³ + b³ = ( a+b)³ - 3ab( a + b)

Biến đổi vế trài ta có

a³+b³+c³-3abc+3ab(a+b)-3ab(a+b)

=(a+b)(a²-ab+b²)-3ab(a+b+c)+3ab(a+b)+c³

=(a+b)(a+b)²+c³-3ab(a+B+c)

=......................

Bn cứ nhóm lại là = vế phải.

bạn thiếu dấu cộng giữa b² và c² vì vậy vế phải là (a+b+c)(a²+b²+c² -ab-bc-ac)

Ta có : a³+b³+c³ -3abc = (a+b)³ -3ab(a+b)+c³ -3abc = (a+b)³ +c³  -3ab(a+b+c)

                                   =(a+b+c)³ -3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b+c)

                                   =(a+b+c)((a+b+c)²-3(ac+bc)-3ab)

                                   =(a+b+c)(a²+b²+c² +2ab +2ac +2bc -3ab -3bc -3ac )

                                   =(a+b+c)(a²+b² +c²-ab-bc-ac)=vp (đpcm)

Có: a3+b3+c3−3abc

=a3+3a2b+3ab2+b3+c3−3a2b−3ab2−3abc

=(a+b)3+c3−3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+2ab+b2−(a+b)c+c2)−3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2+2ab−ac−bc−3ab)

=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−ac−bc)(đpcm)

Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\)

\(a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\) (đúng)

Hoặc nó tương đương \(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\dfrac{2b}{2}=b\)

Tương tự rồi nhân theo vế cũng thu được ĐPCM

VT = a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b)(a² - ab + b²) + c³ - 3abc

= (a + b)(a² + 2ab + b² - 3ab) + c³ - 3abc

= (a + b)³ - 3ab(a + b) + c³ - 3abc

= (a + b+ c)[(a + b)² - c(a + b) + c²] - 3ab(a + b+  c)

= (a + b + c))(a² + 2ab + b² - ac - bc + c² - 3abc)

= (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc) = VP

=> ĐPCM

Sửa đề :

VP= (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

     =a³+ab²+ac²-a²b-abc-ca²+ba²+b³+bc²-ab²-b²c-abc+ca²+cb²+c³-abc-bc²-c²a

     =a³+b³+c³-3abc

Cách này đỡ phức tạp hơn cách của edogawa conan

Biến đổi VP thì dễ hơn -.-

Sửa đề như anh Sơn :> 

VP = ( a + b + c )( a² + b² + c² - ab - bc - ca )

      = a( a² + b² + c² - ab - bc - ca ) + b( a² + b² + c² - ab - bc - ca ) + c( a² + b² + c² - ab - bc - ca )

      = a³ + ab² + ac² - a²b - abc - ca² + a²b + b³ + bc² - ab² - b²c - abc + ca² + cb² + c³ - abc - bc² - c²a

      = a³ + b³ + c³ - 3ab = VT ( đpcm )

a)  \(VT=\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)

\(=\left(a+b\right)^3+3c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)+c^3-a^3-b^3-c^3\)

\(=a^3+b^3+c^3+3ab\left(a+b\right)+3\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2\right)-a^3-b^3-c^3\)

\(=3\left(a+b\right)\left(ab+ac+bc+c^2\right)\)

\(=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=VP\)

b)  \(VT=a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2-3ab\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=VP\)

Chịu khó quá

\(VT=a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=VP\)

\(VP\left(đề\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2c^2-ab-bc-ca\right)\ne VP@TN\)

Xét vế trái:

\(2\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)\)

\(=2\left[\left(a^3+b^3\right)+c^3-3abc\right]\)

\(=2\left[\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\right]\)

\(=2\left\{\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-\left[3ab\left(a+b\right)+3abc\right]\right\}\)

\(=2\left\{\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\right\}\)

\(=2\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc-c^2-3ab\right)\)

\(=2\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\right]\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt!

\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b\right)-3abc\)\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)

\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)=\left(a+b+c\right)\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\right)\)\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)=\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]\left(đpcm\right)\)

cái này dễ

mà có ng làm rồi nên thôi mk ko làm nx